Logaritmos 4o ESO

Ya estamos en 4o de la ESO y toca hablar de logaritmos. Los conceptos nuevos dan un poco de miedo al principio pero con unas pocas nociones básicas vamos a comprobar que el logaritmo es una expresión de lo más fácil de entender y manejar. Vamos a ello!!, hemos superado hace tiempo la división, conocemos las potencias, sabemos calcular la raíz cuadrada, nos manejamos con la física y la química, porqué no dar un paso más.

Definición de logaritmo
Propiedades de los logaritmos
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Solución usando la calculadora
La raíz cuadrada y el logaritmo

Definición de logaritmo

A veces, y esta creo que es una de ellas, una imagen vale más que mil palabras, es por ello que antes de definir con palabras que es un logaritmo, vamos a mostrar una expresión que lo representa:

$\boxed{log_a P = x }$ $\xrightarrow{}$ $\boxed{ a^x = P}$

Pongamos algún ejemplo para completar esta introducción antes de entrar en definiciones.

$\boxed{log_2 8 = 3}$ , y se lee logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3, porque sabemos que $2^3 = 8$ 2 al cubo es igual a 8.
$\boxed{log_5 25 = 2}$ , y se lee logaritmo en base 5 de 25 es igual a 2, porque sabemos que $5^2 = 25$ 5 al cuadrado es igual a 25.
$\boxed{log 100 = 2}$ , y se lee logaritmo decimal de 100 es 2, porque sabemos que $10^2 = 100$ 10 al cuadrado es 100. (Cuando no pongo base se entiende que es base 10 y se llama logaritmo decimal).

Por lo tanto, si a>0, llamamos logaritmo en base a de un número P, y se escribe como $log_aP$ , al exponente al que hay que elevar la base a para obtener el número P. Al principio mejor que nos acostumbremos a este concepto usando valores de x enteros, pues es más fácil de entender que 10 al cuadrado es 100 y por eso el logaritmo de 100 es 2, que 10 al cubo es 1000 y por eso el logaritmo de mil es 3, y cuando ya tengamos el concepto de logaritmo bien afianzado veremos que el logaritmo de un número puede dar como resultado un número real, aunque nos cueste imaginar el resultado de, por ejemplo, 8 elevado a 3,345.

La base puede ser cualquier número, pero existen 2 casos que emplearemos más a menudo en nuestros ejercicios, que son el logaritmo decimal y el logaritmo neperiano.

El logaritmo decimal es aquel cuya base es 10, en este caso lo representamos directamente como log sin especificar el número 10 en la base. Es el más fácil de entender en los ejemplos pues determina la llamada escala logarítmica, donde 1 corresponde al 10, el 2 al 100, el 3 al 1000, el 6 al millón y así sucesivamente. Lo entenderemos con los siguientes ejemplos:

Logaritmo decimal

El logaritmo neperiano es una caso particular donde la base se corresponde con el número e, cuyo valor es e=2.71828… e irás conociendo como ya sabes que $\pi$ es 3.1415…. En este caso tampoco escribimos el número e en la base sino que lo representamos como ln. Este tipo de logaritmos los calcularemos usando la calculadora. Veremos ejemplos de logarítmos neperianos más adelante.

Propiedades de los logaritmos

Este apartado es el más importante y es el que nos va a permitir jugar con los logaritmos en las ecuaciones y ejercicios.

$\boxed{1}$ El logaritmo de la base es 1
Si tomamos a como la base de un logaritmo el logaritmo en base a de su propio número a siempre será 1, puesto que a elevado a 1 es a, es decir, $log_aa=1$
$\boxed{2}$ El logaritmo de 1 es 0
Como cualquier número elevado a 0 es 1 obtendremos que el $log_a1=0$ .

$\boxed{3}$ El logaritmo del producto es la suma de los logaritmos
El logaritmo de x por y es igual a la suma del logaritmo de x más el logaritmo de y, todos en la misma base.

$\boxed{4}$ El logaritmo del cociente es el logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor
El logaritmo de x dividido por y es igual al logaritmo de x menos el logaritmo de y, todos en la misma base.

$\boxed{5}$ El logaritmo de una potencia es la potencia por el logaritmo
El logaritmo de x elevado a y es igual a y por el logaritmo de x, todos en la misma base.

$\boxed{6}$ El logaritmo de una raíz es el logaritmo dividido el indice de la raíz
Esto evidentemente es un caso particular de la propiedad anterior, dado que sabemos que raíz cuadrada es elevar a 1/2, la raíz cúbica es elevar a 1/3 y así sucesivamente, por lo tanto, el logaritmo de la raíz enésima de x será 1/n por el logaritmo de x.

$\boxed{7}$ El logaritmo en base a de P es el logaritmo decimal de P dividido el logaritmo decimal de a.

Esta propiedad nos permite el cambiar de base para poder simplificar más fácilmente una ecuación con logaritmos.

Todas estas propiedades las veremos más claras con la siguiente imagen resumen:

Propiedades de los logaritmos

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Los logaritmos en 4o ESO nos aparecen en las ecuaciones de manera que aplicando las propiedades anteriores podemos muchas veces llegar a un resultado sin necesidad de calculadora. En base a unos ejercicios veremos ejemplos de como resolver cada uno de los casos.

$\boxed{1}$ Si tenemos una ecuación exponencial que consta de una igualdad de potencias que se pueden poner en la misma base lo resolveremos el ejercicio igualando exponentes:

$\boxed{3^{1-x^2} = \frac{1}{27} }$
$3^{1-x^2}=\frac{1}{27}=3^{-3} \xrightarrow{}$
$1-x^2 = -3 \xrightarrow{}$
$x = \pm2$

$\boxed{2}$ Si tenemos algo similar pero no podemos poner ambas potencias con la misma base, es decir, no podemos simplificar las bases, tomaremos logaritmo en ambas partes de la ecuación y trataremos de simplificar usando las propiedades que vimos en el apartado anterior.

$\boxed{3^{1-x} = 25 }$
$3^{1-x}=25=5^2 \xrightarrow{}$
$log 3^{1-x} = log 5^2 \xrightarrow{}$
$(1-x)log3 = 2log5 \xrightarrow{}$
$x = 1 - \frac{2log5}{log3} \xrightarrow{}$
$x\approx{1.93}$

$\boxed{3}$ Cuando en el ejercicio que se nos plantea existen varios exponentes donde aparece nuestra variable x, y estos son diferentes pero con la misma base, asociaremos una nueva variable y a dicho valor. Este truco es importante tenerlo en cuenta pues no sería fácil de otra manera.

$\boxed{2^x + 2^{x+1} = 24 }$
$2^x+2^x2=24 \xrightarrow{2^x=y}$
$y+2y=24 \xrightarrow{}$
$3y=24 \xrightarrow{}$
$y=8 \xrightarrow{}$
$x=3$

$\boxed{4}$ En caso de tener una ecuación logarítmica donde aparecen también otros términos independientes pasaremos todos los términos con logaritmo a un lado para aplicar las propiedades y unir en un único logaritmo.

$\boxed{log x = 2 - log4 }$
$logx + log4 = 2 \xrightarrow{2^x=y}$
$log4x = 2 \xrightarrow{}$
$4x=10^2 \xrightarrow{}$
$x=\frac{100}{4}=25$

$\boxed{5}$ Si en nuestra ecuación logarítmica solo aparecen términos con logaritmo, agrupamos hasta tener uno en cada miembro, simplificamos y obtenemos una ecuación normal.

$\boxed{log x = 2 - log4 }$
$logx + log4 = 2 \xrightarrow{2^x=y}$
$log4x = 2 = log100 \xrightarrow{}$
$4x=100 \xrightarrow{}$
$x=25$

Solución ecuaciones con calculadora

Haz click en la imagen para acceder al vídeo con la explicación de como introducir las ecuaciones exponenciales y logarítmicas en la calculadora y ver como fácilmente podemos comprobar que el resultado que hemos obtenido a mano coincide con el que nos da la calculadora que podemos tener en el examen.

La raíz cuadrada y el logaritmo

Ya se que es un caso de los muchos ejercicios que nos podemos encontrar donde aparecen logaritmos, pero ya que estamos en la web raíz cuadrada me ha parecido oportuno dedicar un apartado a ver como podemos resolver paso a paso algún ejercicio donde aparezca la raíz cuadrada.
En el siguiente ejemplo vamos a intentar usar todas las propiedades que podamos, explicadas paso a paso.
$\boxed{log \sqrt{\frac{x}{8}} = 2 }$
$log [\frac{x}{8}]^{\frac{1}{2}} = 2 \xrightarrow{}$
$\frac{1}{2}log \frac{x}{8} = 2 \xrightarrow{}$
$log \frac{x}{8} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 \xrightarrow{}$
$log \frac{x}{8} = log 10^4 \xrightarrow{simplificar}$
$\frac{x}{8} = 10^4 \xrightarrow{}$
$x=\frac{10000}{8} = 1250$