Gravitación 4o ESO, ley de gravitación universal

Gravitación en Secundaria

En el tema de gravitación de 4o ESO vamos a ver la como aplicando la fórmula de la ley de gravitación universal podemos deducir el valor de la gravedad en función de la altura en que nos encontremos y la fuerza con que 2 objetos se atraen, habitualmente la Tierra y cualquier objeto, ya sea grande como la Luna o pequeño como nosotros mismos.

Vamos a ver primero unas ideas y conceptos que ya conocemos y que nos permitirán entender las fórmulas de la gravitación mucho más fácilmente en nuestro curso de 4º de la ESO.

Energía potencial

En raíz cuadrada ya hemos visto anteriormente que es la energía potencial, y también como se mantiene constante junto la energía cinética para dar paso a la energía mecánica como suma de las 2, siendo esta suma constante en todo el recorrido del objeto que estemos analizando.

Recordemos la fórmula de la energía potencial como:

$\boxed{E_p=m\cdot{g}\cdot{h}=P\cdot{h}}$ $donde \begin{cases}m=masa (kg) \\ g=gravedad (m/s^2) \\ h=altura (m) \end{cases}$

Esta fórmula contiene como factor directo el valor de la gravedad, esto es porque la energía potencial está directamente relacionada con la gravedad, es decir, la fuerza con la que 2 objetos se atraen. Por eso también la llamamos fuerza potencial gravitatoria, pues es la gravedad la que hace que los objetos que rodean un cuerpo sean atraídos ocasionando una aceleración en ellos.

Hasta ahora el valor de la gravedad lo hemos considerado como constante, y en todos los ejercicios hemos aplicado el mismo valor de $g=9.81m/s^2$ . Pero este valor no es constante, sino que cambia en función de la distancia a la que nos encontramos del centro de la Tierra. Es decir, si nos subimos a lo alto de un pico de 8.000 metros de altura la fuerza de gravitación que nos atrae será ligeramente menor a 9.81, y si nos vamos más arriba, donde están por ejemplo los satélites meteorológicos, aun se reducirá mucho más.

Dicho esto vamos a ver como podemos conocer el valor de esta fuerza de gravedad en cada posición en la que nos encontramos.

Ley de gravitación universal

La ley de gravitación universal la publicó Isaac Newton hace más de 300 años, y sorprende que aún esté en pleno vigor. Nos viene a decir que todos los cuerpos se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Veamos dicha fórmula:

Donde:

Fg es la fuerza gravitatoria (N)
G es la constante de gravitación universal
M y m son las masas de los 2 cuerpos que se atraen
r es el radio que separa el centro de ambos cuerpos

La constante G de gravitación universal

En la fórmula empleamos un valor de ajuste que llamamos constante de gravitación universal y que tiene un valor fijo para todos los ejercicios de gravitación que realizamos.
$\boxed{G=6,67 \cdot 10^{-11} (N \cdot m^2 / Kg^2)}$

Cálculo del valor de la gravedad en la Tierra

Vista la fórmula de gravitación universal, y sabiendo que el peso en la Tierra de un cuerpo es la fuerza con que esta atrae a dicho objeto, si representamos P como el peso, m la masa de un cuerpo y $g_T$ la gravedad en la Tierra, podemos decir que:

$P = m \cdot g_T$

Como sabemos cual es la fuerza gravitatoria gracias a la fórmula anterior, podemos asegurar que el peso de un objeto es la fuerza gravitatoria con la que es atraído, y por tanto:

$P = m \cdot g_T = G \cdot \frac { M_T \cdot m } {{R_T}^2}$

Simplificando m en ambas igualdades obtenemos el valor de la gravedad en la Tierra.

$g_T = G \cdot \frac { M_T } {{R_T}^2}$

Tomando valores aproximados para la masa y radio de la Tierra, obtenemos:

$g_T = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac { 6,4 \cdot 10^{23} } { {(6,37 \cdot 10^6)}^2} = 9,83 m/s^2$

Este simple ejemplo nos permite pensar al reves, es decir, con el dato de la gravedad a una distancia del centro de la Tierra podíamos haber calculado la masa de esta. Puede que te lo pidan como ejercicio.

Cálculo de la gravedad en un planeta

Siguiendo el mismo razonamiento que hemos hecho para calcular la gravedad en la Tierra podemos deducir que la gravedad en un planeta p será:

$\boxed{g_p = G \cdot \frac { M_p } {{R_p}^2}}$

El movimiento de satélites – órbitas elípticas

Fuerza centrípeta

Hemos hablado al inicio de este artículo de la energía potencial pero ahora tenemos que introducir otro concepto, la fuerza centrípeta. Pongamos un ejemplo para entender fácilmente lo que es. Si atamos a un extremo de una cuerda una piedra y empezamos a darle vueltas, vemos como la piedra coge una velocidad que tiende a escapar de la pequeña órbita que describe. Evidentemente, si la cuerda se rompe, la piedra escapará en línea recta tangencial al lugar de escape. Esta fuerza de escape la llamamos fuerza centrífuga. Pero, ¿por qué no se escapa la piedra?, porque existe otra fuerza que actúa justo al revés, es decir, hacia el centro de la circunferencia que describe, y esa fuerza precisamente es la que llamamos fuerza centrípeta, cuya fórmula es:

$\boxed{F_c=m\cdot \frac{v^2}{r}}$ $donde \begin{cases}m= masa (Kg) \\ v=velocidad (m/s) \\ r=radio (m) \end{cases}$

Órbita elíptica

Si miramos la imagen superior podemos ver como la Luna, satélite de la Tierra, por su fuerza centrífuga tiende a escapar de su órbita, eso significa que existe una fuerza centrípeta que lo évita, y en ausencia de otras fuerzas, esa fuerza centrípeta que consigue que el objeto no se aleje es precisamente la fuerza gravitatoria. De este modo podemos decir que la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria se igualan.

$F_c = m \cdot \frac{v^2}{r} = F_g = G \cdot \frac { M \cdot m } {{r}^2}$

Simplificando masa y radio nos queda que:

$v^2 = G \cdot \frac { M } {r}$ ; es decir,

$\boxed{v = \sqrt {G \cdot \frac { M } {r}}}$

Como ya vimos aquí en raíz cuadrada en el tema de movimiento circular el periodo es el tiempo que tarda el objeto en dar una vuelta completa, como tenemos la velocidad lineal supone que una vuelta completa se corresponde con una distancia de $2 \cdot \pi \cdot r$ :

$T = \frac{2 \cdot \pi \cdot r} {v}$

Sustituyendo la velocidad por la fórmula anterior tenemos el periodo en función de la masa y radio del planeta y la constante gravitatoria universal:

$T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt { \frac{r^3}{G \cdot M} }$
Por último, si lo ponemos en función de la gravedad y el radio tenemos:

$\boxed{T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt { \frac{r}{g} }}$

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