Trigonometría 4º ESO

Concepto de trigonometría
Unidades para medir ángulos
Razones trigonométricas de ángulos agudos
Relaciones trigonométricas fundamentales
Los cuadrantes en la circunferencia
Tabla de razones trigonométricas
Razones trigonométricas a destacar


Este año en 4º ESO no paramos de ver cosas nuevas, los logaritmos ya nos han sorprendido pero hemos comprobado que no era para tanto, en física no nos hemos dejado vencer por la gravedad con sus caídas libres y ahora vamos a coger con fuerza esto que llamamos trigonometría.

Como definición decimos que trigonometría es la parte de las matemáticas que se encarga de estudiar las medidas de los triángulos, la longitud de sus lados y sus ángulos. La trigonometría nos va a suministrar la herramienta para, fácilmente, poder conocer las longitudes de los lados de los triángulos sabiendo la información de sus ángulos. Por ejemplo, me viene a la memoria los problemas que hicimos con el Teorema de Tales podríamos resolverlos más fácilmente si conocemos los ángulos que formaban los triángulos.

Unidades para medir ángulos

En matemáticas hasta ahora hemos medido los ángulos en grados, la circunferencia completa tiene 360 grados y un cuadrante, es decir, el ángulo formado por la intersección de los ejes, decimos que forma un ángulo de 90 grados, lo que identificamos como ángulo recto. Esto que ya conocemos nos lleva a definir el grado, y lo representamos como (^{\circ}), a un ángulo que resulta de dividir el ángulo recto en 90 ángulos iguales.

Al igual que un número puede tener decimales, el grado puede tener subdivisiones más pequeñas que 1 grado, a estos submúltiplos los llamaremos minutos (x') y segundos (x'') y los definimos como:

1^{\circ}=60'=> 1 grado es igual a 60 minutos
1'=60''=> 1 minuto es igual a 60 segundos

Esta medida también la podemos convertir a número decimal, donde 1 minuto será 1/60 de grado y un segundo será 1/3600. Esta conversión de grados a su valor decimal es fácil de realizar con una calculadora.

El radían ya lo hemos introducido en física, puedes ver el apunte que hicimos en cinemática (http://www.raizcuadrada.es/index.php/cinematica-4o-eso/#radian), pero podemos decir de nuevo que es el ángulo que se corresponde con el arco cuya longitud se corresponde con la del radio de la circunferencia que describe.

Por tanto, si sabemos que una circunferencia completa son 360^o y que la longitud de esa circunferencia son 2\pi \cdot r, podemos decir que:
360^{\circ}=2\pi (radianes)

Para realizar la conversión entre grados y radianes usaremos
  • De grados a radianes
  • Multiplicar por \frac{2\pi }{360}=\frac{\pi }{180}

  • De radianes a grados
  • Multiplicar por \frac{360}{2\pi }=\frac{180}{\pi }

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Razones trigonométricas de ángulos agudos

Para simplificar las cosas vamos a partir de algo que conocemos de sobra, el Teorema de Pitágoras, que nos dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrado de los catetos y además que el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto. Veamos un triángulo rectangulo:

triángulo rectángulo

Hasta ahora llamábamos cateto a cualquiera de los 2 lados que no son la hipotenusa, pero necesitamos ahora concretar como definir a cada uno de ellos por separado, por ello, respecto a un angulo dado, definiremos:

  • Cateto contiguo será el cateto que está al lado del ángilo
  • Por ejemplo, cateto contiguo de \alpha es b.

  • Cateto opuesto será el cateto que se encuentra enfrente del ángulo
  • Por ejemplo, cateto opuesto de \alpha es a.

Con estos nuevos conceptos y sabiendo que al estar en un triángulo rectángulo los 2 ángulos restantes son necesariamente agudos, vamos a atrevernos a definir 3 nuevos conceptos, llamados razones trigométricas y que establecen relación proporcional entre los lados del triángulo en base los ángulos que lo forman, seno, coseno y tangente que los representamos por sen, cos y tg.

Razones trigonométricas de ángulos agudos
sen \alpha = \frac{cat.opuesto}{hipotenusa} cos \alpha = \frac{cat.contiguo}{hipotenusa} tg \alpha = \frac{cat.opuesto}{cat.contiguo}

Sabiendo que los lados del triángulo de arriba son a, b y c podemos definir las siguientes razones trigonométricas:

Definición de seno, coseno y tangente
sen \alpha = \frac{a}{c} cos \alpha = \frac{b}{c} tg \alpha = \frac{a}{b}
sen \beta = \frac{b}{c} cos \beta = \frac{a}{c} tg \beta = \frac{b}{a}

La gran importancia de estas relaciones o razones trigonométricas es que sirven para cualquier medida del triángulo porque son independientes de su tamaño, simplemente son relaciones que nos sirven como haríamos en una regla de 3, es decir, se trata de proporcionalidades, y por tanto, dependiendo de los valores que tengamos reales podremos calcular proporcionalmente los datos o medidas que no conozcamos en el triángulo.

Aunque inicialmente vamos a trabajar con razones trigonométricas sencillas que podemos aprender de memoria cualquier ángulo tiene sus razones trigonométricas fácilmente calculables en la calculadora. En la calculadora será muy útil obtener la función inversa de las razones trigonométricas, es decir, si tenemos un triángulo rectángulo donde hipotenusa mide 4 y el cateto opuesto al ángulo que queremos conocer mide 2, eso significa que el seno de dicho ángulo será 2/4 = 0,5. Dicho esto, con la calculadora, si pedimos la inversa del seno de 0,5 nos devolverá el valor del ángulo, esta función la conocemos como arcoseno.

Relaciones trigonométricas fundamentales

Las 3 relaciones trigonométricas fundamentales
sen^2\alpha +cos^2\alpha = 1 tg \alpha = \frac{sen\alpha}{cos\alpha} 1+tg^2\alpha = \frac{1}{cos^2\alpha}

Las relaciones trigonométricas nos van a permitir calcular, a partir de una razón trigonométrica de un ángulo, el valor de las otras 2 razones, es decir, si conocemos lo que vale el coseno de un ángulo, aplicando estas 2 relaciones obtendremos el valor del seno y la tangente de dichos ángulos. En el apartado de ejercicios veremos muchos ejemplos de esto.

La demostración de estas 3 relaciones es muy sencilla y te la dejo como ejercicio, si no se me olvida incluiré la solución en el apartado de soluciones.

No se me olvidó, despliega y podrás ver el video
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Los cuadrantes en la circunferencia

Hemos visto como definir las razones trigonométricas en el triángulo rectangulo, que como sabemos tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos, pero que pasa con las razones trigonométricas de ángulos mayores a 90. Para explicar esto vamos a necesitar la ayuda de la circunferencia goniométrica, que consiste en una circunferencia cuyo radio mide 1. Esta particularidad la relaciona en gran manera con los conceptos trigonométricos que estamos definiendo, pues cada punto de esta circunferencia está definido por las coordenadas (x,y) que se corresponden con los valores (sen\alpha y cos \alpha, como se puede ver a continuación.

Circunferencia Goniometrica

En el dibujo, marcando los ejes x e y, podemos ver como nuestro triángulo rectángulo lo podemos situar en el primer cuadrante haciendo coincidir uno de los catetos con el eje x. De este modo vamos a poder extender las razones trigonométricas al resto de ángulos del resto de cuadrantes. Primero veamos dicha imagen antes de extender al resto de cuadrantes.

circunferencia goniometrica

En el primer cuadrante, como el radio es 1, la hipotenusa del triangulo inscrito es 1, por tanto el seno y coseno coinciden con los 2 catetos, tal y como ya hemos dicho en los párrafos anteriores. Pero si ahora queremos llevar esto al resto de cuadrantes, es decir, a los ángulos superiores a 90 grados, podemos decir que para cada ángulo que marcamos en la circunferencia, tomando como origen el eje x, se define un punto de coordenadas (x,y) de modo tal que x se corresponde siempre con el valor de coseno de dicho ángulo y el valor y se corresponde siempre con el valor del seno de dicho ángulo, sea cual sea el valor de dicho ángulo desde 0 hasta 360 grados. Pero esto que acabamos de afirmar es cierto en valor absoluto, pues si consideramos que los ejes tienen valores positivos y negativos según estemos a la derecha o izquierda del eje x o arriba o abajo del eje y, falta como última consideración el signo que toma cada uno de estos valores según la posición del punto (x,y) en los cuadrantes de la circunferencia.

Cuadrantes Trigonometría Circunferencia Cuadrantes Trigonometricos

Tabla de razones trigonométricas

Existen una serie de ángulos dentro de la circunferencia goniométrica cuyo aprendizaje es fundamental para la rapidez de cálculo de muchos ejercicios tipo que nos encontramos en este nivel de la asignatura. Todos ellos son fáciles de demostrar aplicando el Teorema de Pitágoras y sería una buena práctica el intentar hacerlo. Si consigues demostrar estos valores de abajo te será muy sencillo recordar cada uno de estos valores, que insisto serán muy útiles a partir de ahora.

Grados 0^{\circ} 30^{\circ} 45^{\circ} 60^{\circ} 90^{\circ} 135^{\circ} 180^{\circ} 225^{\circ} 315^{\circ}
seno 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1 \frac{\sqrt{2}}{2} 0 \frac{- \sqrt{2}}{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}
coseno 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0 \frac{- \sqrt{2}}{2} -1 \frac{- \sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2}
tangente 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} \nexists -1 0 1 -1
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Razones trigonométricas a destacar

Si te has dado cuenta hemos incluido en la tabla varios ángulos que nos interesa mencionar. Han sido el 45, 135, 225 y 315 grados respectivamente. Cada uno de ellos pertenece a un cuadrante distinto con la particularidad de que cada uno es el anterior más 90 grados y eso significa que sus valores de seno, coseno y tangente serán los mismo en valor absoluto pero con el signo determinado por el cuadrante al que pertenezcan. Además también podemos mencionar algunos casos interesantes de relación entre ángulos.

  • Ángulos suplementarios
  • (\alpha, 180^{\circ}-\alpha )
    Son aquellos que suman 180 grados. Se relacionan de la siguiente forma:

    \boxed  {  \begin{cases}      sen(180^{\circ}-\alpha ) = sen \alpha \\      cos(180^{\circ}-\alpha ) = -cos \alpha \\      tg(180^{\circ}-\alpha ) = -tg \alpha  \end{cases}  }
  • Ángulos que difieren 180 grados
  • (\alpha,180^{\circ}+\alpha )
    Son aquellos que la resta del mayor al menor da 180 grados. Se relacionan:
    \boxed  {  \begin{cases}      sen(180^{\circ}+\alpha ) = -sen \alpha \\      cos(180^{\circ}+\alpha ) = -cos \alpha \\      tg(180^{\circ}+\alpha ) = tg \alpha  \end{cases}  }

  • Ángulos opuestos
  • (\alpha,- \alpha )
    Son aquellos que la resta del mayor al menor da 180 grados. Se relacionan:
    \boxed  {  \begin{cases}      sen(-\alpha ) = -sen \alpha \\      cos(-\alpha ) = cos \alpha  \\      tg(-\alpha ) = -tg \alpha  \end{cases}  }

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