mcm y MCD

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mcm y MCD

Descomposición factorial

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Como paso previo para poder entender los cálculos del mcm y MCD, necesitamos definir y explicar que es la descomposición factorial de un número natural. Todo son conceptos que hemos de aprender en 1o ESO.
Entendemos por esto la descomposición de dicho número natural en todos los factores primos que forman dicho número.
Para resolver esto, y recordando del tema ya visto que los números primos son {2,3,5,7,11,13,17\cdots}, usaremos una tabla para ir dividiendo el número natural entre los factores primos que conocemos hasta llegar a la unidad.
De tal forma si tenemos el número natural 72 y queremos encontrar todos sus factores procederemos de la siguiente forma:

 \begin{array}{r|l}  72 & 2 \\  36 & 2 \\  18 & 2 \\  9 & 3 \\  3 & 3 \\  1 &  \end{array}

Por tanto  72 = 2\times2\times2\times3\times3   

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mcm – mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de 2 o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos y cada uno de ellos. Ser múltiplo de cada uno de dichos números significa que incluye todos los factores de cada uno de ellos. Este cálculo sólo se puede aplicar a números naturales.

Algorítmo de cálculo del mcm

De dos o más números naturales:

  1. Para cada uno de los números realizar su descomposición factorial en factores primos.
  2. Para el primer número elegimos todos sus factores primos.
  3. Para el resto de números añadimos aquellos factores que no se encuentran en el acumulado que vamos formando. Repetir para todos los números.
  4. Multiplicar todos los factores para obtener el mcm.

 

Ejemplo de cálculo del mcm

Para los números naturales 15,25 y 30.

Pasos:

  1. 15={3×5} 25={5×5} 30={2x3x5}
  2. Empezamos a formar nuestro m.c.m con los factores del primer número naturale = {3×5}
  3. Para cada uno de los números restantes vamos añadiendo los factores que no se encuentran en el acumulado:
    1. {3×5}x{5}
    2. {3x5x5}x{2}
  4. El resultado final será {3x5x5x2}, es decir,  mcm(15,25,30)=150

 

Comprobar resultado m.c.m

Como su nombre indica, el mínimo común múltiplo debe ser múltiplo de cada uno de los números naturales que teníamos, por tanto, la comprobación será ir obteniendo los múltiplos de cada uno de ellos y ver si conseguimos el m.c.m. obtenido en cada una de dichas series:

múltiplos de

15: 15,30,45,60,75,90,105,120,135,150  
25: 25,50,75,100,125,150  
30: 30,60,90,120,150  

MCD – Máximo común divisor

El máximo común divisor de 2 o más números naturales es el máximo número natural cuyos factores primos están incluidos en todos y cada uno de ellos. Es decir, al mayor número natural que divide a cada uno de ellos sin dejar resto. Este cálculo sólo se puede aplicar a números naturales.

Algorítmo de cálculo del MCD

De dos o más números naturales:

  1. Para cada uno de los números realizar su descomposición factorial en factores primos.
  2. Elegir los factores primos que son comunes a todos ellos.
  3. Multiplicar dichos factores para obtener el MCD.

 

Ejemplo de cálculo del MCD

Para los números naturales 15,25 y 30.

Pasos:

  1. 15={3×5} 25={5×5} 30={2x3x5}
  2. Los factores comunes a todos ellos son: {5}
  3. El resultado final será {5}, es decir,  MCD(15,25,30)=5
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Comprobar resultado M.C.D

Como su nombre indica, el máximo común divisor debe dividir a cada uno de los números naturales que teníamos, por tanto, la comprobación será ver si el resultado de la división sigue siendo un número natural para cada uno de los números:
\frac{15}{5}=3   
\frac{25}{5}=5   
\frac{30}{5}=6   

Utilidad de cálculo mcm y MCD, con descomposición factorial

En este artículo de la web de raiz cuadrada hemos podido ver el concepto y definición del mcm y MCD, pero como en raiz cuadrada siempre queremos ofrecer algo más, hemos preparado un algoritmo de cálculo del mcm y MCD que permite la descomposición factorial de hasta 4 números enteros y el cálculo del mcm y el MCD, de modo que visualmente podamos entender con los ejemplos que nos pongamos el funcionamiento de este cálculo que vamos a necesitar a partir de ahora, por ejemplo, cuando veamos sumas y restas de fracciones.

Video tutorial utilidad cálculo m.c.d. y m.c.m.

Si necesitas borrar los datos introducidos haz click en el botón de “Limpiar” y vuelve a introducir los números, la descomposición factorial se calcula en el momento y para el mcm y MCD utiliza los botones situados abajo de la ventana.

Soluciones Ejercicios mcm y MCD

Ejercicios mcm y MCD