Estadística 2º ESO

Concepto de estadística
Población, muestra e individuo
Variables estadísticas
Tabla de frecuencias
Ejemplo de tabla de frecuencias
Parámetros estadísticos
Media, mediana y moda
Recorrido y desviación media
Cuartiles y percentiles
Ejercicios y soluciones
Solución ejercicios usando calculadora Casio
Resumen visual de todo el tema


Concepto de estadística

Concepto de estadística

Estadística 2o ESO
Un nuevo concepto en 2º ESO del que posiblemente ya estemos acostumbrados a oír en el instituto o en casa, sobre todo cuando en la televisión sacan datos estadísticos de algún sondeo para las próximas elecciones, de preferencias de la sociedad o simplemente que programas de televisión gustan más a la gente. Sabemos de que van a hablar cuando oímos la palabra estadística pero ahora en 2º ESO vamos a aprender además en que consisten ciertos términos estadísticos y como se calculan dichos parámetros.

Dicha esta introducción podemos decir, como definición, que estadística es recopilar, ordenar y clasificar datos de cualquier tipo de suceso para poder presentarlos a un público general de manera clara y coherente.

Por tanto podemos decir que los pasos a seguir en un estudio estadístico son:

  1. Recopilar los datos
  2. Ordenar dichos datos y clasificarlos
  3. Analizar y presentar de modo claro estos datos con ciertas conclusiones finales


Conceptos estadísticos

Población, muestra e individuo

Población

Es el conjunto de todos los elementos objeto de nuestro estudio.

Muestra

Es un subconjunto, extraído de nuestra población, cuyo estudio nos va a servir para extender ciertas características a toda la población.

Individuo

Es cada uno de los elementos que forman la población o la muestra.

Para aclarar estos conceptos con facilidad podemos poner un ejemplo:
Población: Todos los alumnos de mi clase de 2º ESO de matemáticas que están estudiando estadística.
Muestra: Los 10 alumnos a los que he preguntado por su estatura, a partir de los cuales quiero sacar una conclusión de la estatura del conjunto total de la clase de 2º ESO de matemáticas que están estudiando estadística.
Individuo: Será una persona de dicha clase de 2º ESO de matemáticas que estudia estadística.


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Variables estadísticas

Solemos asociar variable a x como un término que no conocemos y tenemos que averiguar, en este caso entenderemos por variable estadística a la información que debemos conocer de cada individuo de la población a la que estamos realizando el estudio estadístico.
A diferencia de la x que solemos calcularla con pasos deductivos, en este caso estas variables estadísticas las obtenemos observando la muestra, preguntando a los individuos en lo que hemos llamado la fase de recopilación de datos.
Recopilando estos datos de los individuos obtenemos estas variables estadísticas que nos van a permitir realizar nuestro estudio estadístico. Estas variables pueden ser de 2 tipos.

Tipos de variables estadísticas

Variables cualitativas

Toda aquella información que no se puede representar como un número, por tanto se trata de características o cualidades de dichos individuos. Por ejemplo un estudio de la profesión de los padres de cada alumno, o su estado civil. Cualquier de estos estudios está determinado por variables que no son numéricas.

Variables cuantitativas

Son aquellas que se expresan mediante un número, es decir, una cantidad. Aquí vamos a establecer 2 tipos:

  1. Discretas: La variable sólo admitirá valores aislados, por ejemplo el número de hermanos de cada alumno, podrá ser 0, 1, 2, 3, etc…, pero nunca valores intermedios.
  2. Continuas: En este caso la variable puede tomar cualquier numérico, y por tanto entre 2 valores siempre podrá existir otro entre medio. Como ejemplo podemos establecer la estatura de los alumnos de nuestra famosa clase de estadística de 2º ESO, donde, ajustando bien el metro, podemos tener un alumno que mida 167cm, otro 168cm, y otro que mida 167’4cm, o 167,35cm. Podemos ajustar tanto como queramos o como el ejercicio estadístico nos pida.


Tabla de frecuencias

Hemos visto las variables estadísticas y hemos realizado nuestra recogida de datos en la muestra seleccionada dentro de nuestra población. Bien, ahora hemos de organizar dichos datos y la mejor manera para hacer esto es mediante una tabla. A esta tabla, que nos permite visualmente tener acceso a toda la información recopilada la llamaremos tabla de frecuencias.

Tipos de frecuencias

Frecuencia absoluta

Es el número de veces que aparece un determinado valor en el estudio estadístico. Si llamamos xi a un valor o rango de valores que puede tomar la variable estadística, fi será el número de veces que aparece un valor que pertenece a xi en la muestra realizada.
La suma de todas las frecuencias absolutas nos dará como resultado el número total N de datos recopilados.
 f_1 + f_2 + \dots + f_n=N   
Para representar esta igualdad podemos usar el símbolo sumatorio \sum   
\sum_{i=1}^{n} f_i = N  
y se lee sumatorio para i=1 hasta n de fi es igual a N.

Frecuencia relativa

Habiendo definido en el punto anterior fi como frecuencia absoluta y N como el número total de muestras realizadas podemos definir la frecuencia relativa para un valor i como:
n_i = \frac{f_i}{N}

Ambos tipos de frecuencias podemos expresarlas en modo acumulado, es decir, cada intervalo o fila i expresa la suma de todos los intervalos anteriores. Vamos a poner varios ejemplos para aclarar estos conceptos.


Ejemplo de tabla de frecuencia

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Vamos a recoger una muestra de valores del resultado de tirar 2 dados de parchís los alumnos de matemáticas de 2º ESO. Repetiremos el experimento 20 veces. La variable estadística será cuantitativa discreta cuyos valores enteros irán desde el 2 hasta el 12.
Los resultados de dicho ensayo estadísticos han sido:
{11,7,7,8,7, 5,6,4,4,2, 5,10,7,5,8, 6,8,9,12,2}
Usando los términos definidos anteriormente vamos a construir la tabla de frecuencias, empezando por la frecuencia absoluta viendo cuantos tiros han sumado 2, cuantos han sumado 3, etc…

TabladeFrecuencias_Small

En caso de que la variable fuese cuantitativa continua el valor xi sería un rango. Y por último, en caso de que la variable fuese cualitativa no tendrán sentido las tablas acumuladas.


Parámetros estadísticos

Se trata de resumir la información de la tabla de frecuencias en unos parámetros fácilmente interpretables. Pero no nos vale con saber únicamente el centro alrededor del cual se sitúan el resto de valores, por ejemplo, si vemos las 2 gráficas de abajo son totalmente diferentes y sin embargo su valor medio sería similar. Necesitamos más parámetros estadísticos que den información adicional y lo vamos a encontrar definiendo una serie de parámetros de 3 tipos, de centralización, dispersión y de posición.


Medidas de centralización

Los parámetros de centralización nos indican en torno a que valor se distribuyen los datos. Definimos media, mediana y moda porque establecen valores alrededor de los cuales se distribuye el resto de valores de la distribución. Vamos a definir los términos:

Medidas de centralización

Media, mediana y moda

Una vez realizada la tabla de frecuencias para variables cuantitativas donde resumimos todos los datos de las variables estadísticas del estudio, vamos a sintetizar más aún toda esta información en unas medidas de centralización que nos permitirán entender los valores de la muestra rápidamente.

Media estadística

Si llamamos x1,x2,…, xn a los valores que ha tomado una distribución estadística, llamaremos media o promedio y representamos como \bar{x} al sumatorio del valor de cada una de las muestras dividido por el número total de muestras. Para el caso del ejemplo de las 20 tiradas de los 2 dados de parchís tendríamos:
\bar{x}=\frac{11+7+7+8+7+5+6+4+4+2+5+10+7+5+8+6+8+9+12+2}{20}

Mediana estadística

Definimos mediana y escribimos Me, como el valor que se encuentra en medio de toda la muestra. Para ello habrá sido necesario haber ordenado de menor a mayor todos los datos de la muestra. Si el número de datos diferentes de la muestra es impar existirá el del medio pero si es par definimos la mediana como el valor medio de los 2 valores centrales.

Moda

Definimos moda y la representamos como Mo al valor que tiene la frecuencia mayor. Para ello consultamos en la tabla aquel valor de xi cuya frecuencia absoluta es máxima. Encontramos que el valor 7 ha salido 4 veces, es el que más veces ha salido y establecemos ese valor 7 como la moda, es decir, el valor de tendencia.


Medidas de dispersión

Aquí se trata de ver como de juntos o separados, es decir, dispersos, se encuentran los datos. Definimos recorrido o rango y desviación media.

Medidas de dispersión

Recorrido

Es la diferencia entre el valor máximo y mínimo de la muestra.
En nuestro ejemplo de alumnos de matemáticas de 2º ESO el valor mínimo es el 2 (que ha salido 2 veces) y el valor máximo es el 12 (que ha salido 1 sola vez). Por tanto el recorrido, que es la diferencia, será 10.

Desviación media

Es el promedio de las distancias de los datos a la media, esta distancia es la diferencia en valor absoluto entre el valor y la media. Podemos representarlo con la fórmula:
DM=\frac{|x_1-\bar{x}|+|x_2-\bar{x}|+ \dots + |x_n-\bar{x}|}{n}=\frac{ \sum |x_i-\bar{x}|}{n}


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Medidas de posición

Medidas de posición

Cuartiles

Se trata de ver los valores que dividen en 4 el número de muestreos que hemos realizado, por ejemplo, en nuestro caso del ejemplo, como tenemos 20 muestras realizadas, se trata de ver, una vez ordenados, a que valor llegamos en la muestra 5, en la 10 y en la 15. Por tanto, Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.
Cabe destacar que Q2 coincide con el valor de la mediana.

Cuartiles estadistica 2º ESO

Percentiles

Al igual que en cuartiles hemos dividido en 4 partes, en los percentiles vamos d dividir en 100 partes, y por tanto obtendremos 99 valores intermedios correspondientes al 1%, al 2%… y al 99% de los datos. En este caso el P50 coincidirá con la mediana y con el Q2.

Que mejor que repasar todo lo visto hasta ahora con unos apuntes gráficos en esta presentación que ha seleccionado raiz cuadrada. Aquí vamos a encontrar todos los puntos tratados. Más adelante pondremos ejercicios con sus soluciones para que podáis poner en práctica todo lo aprendido a este nivel de 2º ESO.


Ejercicios y soluciones

Soluciones Ejercicios Estadistica 2o ESO

Ejercicios Estadística 2o ESO


Solución ejercicios usando calculadora Casio

Consulta aquí los pasos que se siguen en el vídeo con comentarios ampliados.

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Resumen visual de estadística 2o ESO

Vamos a cerrar estos apuntes con un resumen de todo el tema más visual que recoge también algunos ejemplos para poner en práctica. Espero que con esto quede el tema claro y quedo a la espera de sugerencias.


Amplía conocimientos de estadística

En esta web de Pilar Ferrero puedes ampliar estos conocimientos de estadística en uno de sus muchos artículos de matemáticas, en particular te recomendamos para estadística http://www.vadenumeros.es/sociales/frecuencia-absoluta-relativa.htm.