Ecuación de la recta – 3º ESO

Proporcionalidad
La pendiente de una recta
y=mx+n
Ecuación de una recta conociendo un punto y su pendiente
Ecuación de una recta conociendo 2 puntos
Distintos valores de la pendiente

En este artículo de raíz cuadrada vamos a explicar como convertir una recta en una ecuación. En 3º ESO ya hemos visto distintos tipos de ecuaciones y como resolverlas en cada caso, es decir, ver que valor de x hace que el resultado de dicha ecuación sea 0, pero todavía no tenemos claro que representan estas ecuaciones. Esta es una oportunidad para ver que significado puede tener una sencilla ecuación de primer grado.

ecuación recta 3º eso

Antes de ver que ecuación le corresponde a la recta que hemos dibujado arriba vamos a ver unos conceptos básicos que nos ayudarán a conseguir nuestro objetivo.

Proporcionalidad

Definimos proporcionalidad como la relación que existe entre 2 magnitudes, por ejemplo, unidades y precio. Si sabemos que 1 menú de comida cuesta en el restaurante 8€, podemos establecer proporcionalmente cuanto nos costará la comida según el número de comensales que seamos. Por tanto existe una proporcionalidad entre el número de comensales y el precio.

Tabla de proporcionalidad 3o eso

El número fijo, en nuestro caso 8, que sirve para establecer la relación de proporcionalidad lo llamaremos constante de proporcionalidad. De esta manera, si llamamos x a la magnitud número de comensales e y al precio total, podemos establecer una relación en base a su constante de proporcionalidad:

\boxed{y=8x}   

Esta ecuación nos permite conocer el precio total si sabemos el número de comensales y viceversa.

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Representación gráfica de una función de proporcionalidad

Todas las funciones de proporcionalidad se representan mediante una recta que pasa por el origen de coordenadas. Pongamos otro ejemplo, el kilo de almendras cuesta 3€, eso establece que la relación de proporcionalidad es:

\boxed{y=3x}   

La constante de proporcionalidad será 3 y coincide con el valor de la pendiente de la recta que queremos representar. Para ello vamos dando valores a x e y en una tabla (0,0),(1,3),(2,6)… y marcamos dichos puntos siguiendo las líneas de los ejes de coordenadas.

tabla valores

representación función proporcionalidad


Por tanto la función de proporcionalidad tiene una ecuación que representamos como y=mx, que pasa por el punto (0,0) de origen de coordenadas y cuya constante de proporcionalidad m denominamos pendiente de la ecuación.

Obtener la pendiente de una recta

Para obtener la pendiente de una recta tenemos que aplicar esta fórmula:

\boxed { m = \frac { \Delta y } { \Delta x }}   

Para calcular el incremento o variación de la x y de la y hemos de coger 2 puntos cualquiera por los que pasa la recta. Hasta ahora hemos visto que en la función de proporcionalidad siempre pasa la recta por el origen de coordenadas (0,0). En ese caso sólo necesitamos cualquier otro punto por el que pase la recta para calcular la pendiente. Por tanto si tenemos 2 puntos A=(x1,y1) y B=(x2,y2) la pendiente será:

\boxed { m = \frac { y_2-y_1 } { x_2-x_1 }}   

Si como hemos dicho la recta pasa por el origen de coordenadas entonces el punto A=(0,0) y por tanto la pendiente será:

\boxed { m = \frac { y_2 } { x_2 }}   

Ejemplo de cálculo pendiente recta

cálculo pendiente recta

Caso 1: La recta pasa por el origen de coordenadas

Vamos a calcular la pendiente de la recta del gráfico #1, para ello necesitamos 2 puntos por donde pasa dicha recta, A y B, para el primero tomamos el origen de coordenadas A=(0,0), vemos que la recta también pasa por los puntos (1,2) y (2,4).
¿Cual de ellos utilizamos para calcular la pendiente?
La respuesta es cualquiera de ellos, y para comprobarlo hagamos la prueba de que el valor de la pendiente m será el mismo usemos el punto que usemos.

Usando B=(1,2) tenemos que  m = \frac { y_2 } { x_2 } = \frac{2}{1}=2   

Usando B=(2,4) tenemos que  m = \frac { y_2 } { x_2 } = \frac{4}{2} = 2   

Una vez calculada la pendiente ya podemos decir la ecuación de esta recta, que será:
\boxed { y = m \cdot x = 2 \cdot x }   

Caso 2: La recta no pasa por el origen de coordenadas

Evidentemente no todas las rectas que podemos representar en el espacio han de pasar por el origen de coordenadas. En el gráfico #2 tenemos un ejemplo de ello que no pasa por el origen (0,0). Pero para calcular la pendiente hemos visto que con 2 puntos cualquiera de la recta nos es suficiente, sin necesidad de que uno de ellos sea el origen (0,0), por tanto vamos a buscar 2 puntos que corta esta recta, encontramos:
A=(-2,-2)
B=(2,6)

La pendiente que corresponde entonces a esta recta que pasa por estos 2 puntos es:

\boxed { m = \frac { y_2-y_1 }{ x_2-x_1 }  = \frac{6 - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{8}{4} = 2 }   

Por tanto la pendiente es la misma que la recta del gráfico #1. Eso significa que tiene la misma inclinación y por tanto ambas rectas son paralelas. Pero la ecuación que representa esta ecuación no puede ser la misma, por tanto vamos a ver en el siguiente punto cual es la ecuación de una recta que no pasa por el origen de coordenadas.

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La función y=mx+n

En la gráfica #2 hemos visto que la recta corta el eje y en el valor y=2, es decir, cuando x=0 el valor de y=2. Llamaremos a este valor la ordenada en el origen y conociendo este valor y la definición de pendiente que acabamos de ver, podemos definir como ecuación genérica de una recta a:

La ecuación y= mx + n , donde:

  • m es el valor de la pendiente de la recta
  • n es la ordenada en el origen, donde la recta corta al eje Y.
  • Por tanto el valor de la ecuación de la gráfica #2 será:

    \boxed{ y = mx + n = 2 \cdot x + 2 }   

    Cálculo de la ecuación de una recta

    En los ejercicios que planteamos a continuación podemos encontrar diferentes casos, vamos a ver la solución a cada uno de ellos.

    Ecuación recta conociendo un punto y la pendiente

    Si conocemos de una recta un punto (x0,y0) y su pendiente m, entonces:

  • la ecuación de la recta es y = y0 + m (x – x0)
  • y la llamaremos ecuación punto-pendiente
  •   

    Veamos un ejemplo de cálculo de recta punto-pendiente

    ecuación punto pendiente

    Imaginemos que de la recta del dibujo superior nos han dado como datos del ejercicio:

  • la pendiente es m= 3/5
  • la recta pasa por el punto A=(5,7)
  • Con estos datos la ecuación de la recta será:
    y = y_0 + m (x - x_0) = 7 + \frac{3}{5} (x - 5)   
    Ahora podemos simplificar para comprobar que obtenemos el mismo resultado que en el dibujo.
    y = 7 + \frac{3}{5} \cdot x - 3 = \frac{3}{5} \cdot x + 4   

    Ecuación recta conociendo dos puntos

    Si conocemos de una recta 2 puntos A=(x1,y1) y B=(x2,y2), entonces:

  • calculamos la pendiente m
  • y construimos la ecuación como y = y1 + m (x – x1)
  • comprueba que obtenemos lo mismo con y = y2 + m (x – x2)
  •   

    Veamos un ejemplo de cálculo de recta conociendo 2 puntos

    Usando los 2 puntos del dibujo de arriba A=(0,4) y B=(5,7) calculamos primero la pendiente m:

    m = \frac { y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{7-4}{5-0} = \frac{3}{5}   

    Ahora usamos la pendiente para poner la ecuación de la recta:

    y = y_1 + m (x-x_1) = 4 + m (x - 0) = 4 + \frac{3}{5} x   

    Distintos valores de la pendiente

    El valor de la pendiente de una recta nos indica la inclinación de dicha recta respecto al eje de coordenadas. Vamos a resumir los 4 valores principales que puede tomas la pendiente m:

  • m=0 Cuando la recta es paralela al eje X
  • m>0 Cuando el valor de Y aumenta si aumenta X
  • m<0 Cuando el valor de Y disminuye si aumenta X
  • m no existe si la recta es paralela al eje Y
  •   

    Podemos ver estos casos en la imagen siguiente:

    Valores pendiente recta

    Por ultimo vamos a poner una serie de ejercicios con sus soluciones.

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    Soluciones Ejercicios ecuación de la recta 3o eso

    Ejercicios ecuación de la recta 3o eso